Математический вводный курс: существенные концепции, примеры вопросов и обсуждение

математическая индукция

Математическая индукция - это дедуктивный метод, используемый для доказательства истинных или ложных утверждений.

Вы, должно быть, изучали вводную математику в старшей школе. Как мы знаем, математическая индукция - это расширение математической логики.

В своем приложении математическая логика используется для изучения утверждений, которые являются ложными или истинными, эквивалентными или отрицательными, и делать выводы.

Базовые концепции

Математическая индукция - это дедуктивный метод, который используется для доказательства истинных или ложных утверждений.

В процессе делаются выводы, основанные на достоверности общепринятых утверждений, так что конкретные утверждения также могут быть правдой. Кроме того, переменная в математической индукции также считается членом натурального набора чисел.

По сути, есть три шага в математической индукции, чтобы доказать, может ли формула или утверждение быть истинными или наоборот.

Вот эти шаги:

  • Докажите, что утверждение или формула верны для n = 1.
  • Предположим, что утверждение или формула верны для n = k.
  • Докажите, что утверждение или формула верны для n = k + 1.

Исходя из описанных выше шагов, мы можем предположить, что утверждение должно быть проверяемым для n = k и n = k + 1.

математическая индукция

Типы математической индукции

Существуют различные виды математических задач, которые можно решить с помощью математической индукции. Таким образом, математическую индукцию можно разделить на три типа: ряд, деление и неравенство.

1. Серия

В этом типе рядов обычно задача математической индукции находится в форме последовательного сложения.

Таким образом, в задаче серии истина должна быть доказана в первом члене, k-члене и th-члене (k + 1).

2. Отдел

Типы индукции по математике с делением можно найти в различных задачах, в которых используются следующие предложения:

  • a делится на b
  • b фактор a
  • b делит a
  • кратное b

Эти четыре особенности указывают на то, что утверждение может быть решено с помощью математической индукции с делением.

Следует помнить, что если число a делится на b, тогда a = bm, где m - целое число.

3. Неравенство

Тип неравенства обозначается знаком больше или меньше указанного в утверждении.

Есть свойства, которые часто используются при решении неравенств математического индукционного типа. Вот эти характеристики:

  • a> b> c ⇒ a> c или a <b <c ⇒ a <c
  • a 0 ⇒ ac <bc или a> b и c> 0 ⇒ ac> bc
  • a <b ⇒ a + c <b + c или a> b ⇒ a + c> b + c

Original text


Также прочтите: Разница между квадратом и прямоугольником [ПОЛНОЕ ОПИСАНИЕ]

Примеры математических задач индукции

Ниже приведен пример задачи, чтобы вы могли лучше понять, как решить доказательство формулы с помощью математической индукции.

Строка

Пример 1

Докажите, что 2 + 4 + 6 +… + 2n = n (n + 1) для любых n натуральных чисел.

Ответ:

P (n): 2 + 4 + 6 +… + 2n = n (n + 1)

Будет доказано, что n = (n) верно для любого n ∈ N

Первый шаг :

Будет показано, что n = (1) верно.

2 = 1 (1 + 1)

Итак, P (1) верен

Второй шаг :

Предположим, что n = (k) истинно, т.е.

2 + 4 + 6 +… + 2k = k (k + 1), k ∈ N

Третий шаг

Будет показано, что n = (k + 1) также верно, т.е.

2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 1 + 1)

Из предположений:

2 + 4 + 6 +… + 2k = k (k + 1)

Складываем обе стороны с u k + 1 :

2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = k (k + 1) + 2 (k + 1)

2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 2)

2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 1 + 1)

Итак, n = (k + 1) правильно

Пример 2

Используйте математическую индукцию для доказательства уравнений

Sn = 1 + 3 + 5 +7 +… + (2n-1) = n2 для всех целых чисел n ≥ 1.

Ответ:

Первый шаг :

Будет показано, что n = (1) верно.

S1 = 1 = 12

Второй шаг

Предположим, что n = (k) верно, т. Е.

1 + 3 + 5 +7 + ... + 2 (к) -1 = k2

1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) = k 2

Третий шаг

Докажите, что n = (k + 1) верно

1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) + [2 (k + 1) - 1] = (k + 1) 2

помните, что 1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) = k2

тогда

k2 + [2 (k + 1) - 1] = (k + 1) 2

к2 + 2к + 1 = (к + 1) 2

(к + 1) 2 = (к + 1) 2

то приведенное выше уравнение доказано

Пример 3

Докажите, что 1 + 3 + 5 +… + (2n - 1) = n2 верно для любых n натуральных чисел.

Ответ:

Первый шаг :

Будет показано, что n = (1) верно.

1 = 12

Итак, P (1) верен

Второй шаг :

Предположим, что n = (k) верно, то есть

1 + 3 + 5 +… + (2k - 1) = k2, k ∈ N.

Третий шаг:

Будет показано, что n = (k + 1) также верно, т.е.

1 + 3 + 5 +… + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = (k + 1) 2

Из предположений:

1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = k2

Складываем обе стороны с u k + 1 :

1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = k2 + (2 (k + 1) - 1)

1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = k2 + 2k +1

1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = (k + 1) 2

Итак, n = (k + 1) также верно

Деление

Пример 4

Докажите, что n3 + 2n делится на 3 для любых n натуральных чисел

Ответ:

Первый шаг :

Будет показано, что n = (1) верно.

13 + 2,1 = 3 = 3,1

Итак, n = (1) правильно

Также читайте: Понимание и характеристики коммунистической идеологии + примеры

Второй шаг :

Предположим, что n = (k) верно, то есть

k3 + 2k = 3m, k ∈ NN

Третий шаг:

Будет показано, что n = (k + 1) также верно, т.е.

(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3p, p ∈ ZZ

(к + 1) 3 + 2 (к + 1) = (к3 + 3к2 + 3к + 1) + (2к + 2)

(к + 1) 3 + 2 (к + 1) = (к3 + 2к) + (3к2 + 3к + 3)

(к + 1) 3 + 2 (к + 1) = 3m + 3 (к2 + к + 1)

(к + 1) 3 + 2 (к + 1) = 3 (м + к2 + к + 1)

Поскольку m - целое число, а k - натуральное число, (m + k2 + k + 1) является целым числом.

Предположим, что p = (m + k2 + k + 1), тогда

(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3p, где p ∈ ZZ

Итак, n = (k + 1) правильно

Неравенство

Пример 5

Докажите, что для любого натурального числа n ≥ 2 верно

3n> 1 + 2n

Ответ:

Первый шаг :

Будет показано, что n = (2) верно.

32 = 9> 1 + 2,2 = 5

Итак, P (1) верен

Второй шаг :

Предположим, что n = (k) верно, то есть

3к> 1 + 2к, к ≥ 2

Третий шаг:

Будет показано, что n = (k + 1) также верно, т.е.

3к + 1> 1 + 2 (к + 1)

3k + 1 = 3 (3k)

3k + 1> 3 (1 + 2k) (потому что 3k> 1 + 2k)

3k + 1 = 3 + 6k

3k + 1> 3 + 2k (потому что 6k> 2k)

3к + 1 = 1 + 2к + 2

3к + 1 = 1 + 2 (к + 1)

Итак, n = (k + 1) также верно

Пример 6

Докажите, что для любого натурального числа n ≥ 4 верно

(п + 1)! > 3n

Ответ:

Первый шаг :

Будет показано, что n = (4) верно.

(4 + 1)! > 34

левая грань: 5! = 5.4.3.2.1 = 120

правая сторона: 34 = 81

Итак, n = (4) правильно

Второй шаг :

Предположим, что n = (k) верно, то есть

(к + 1)! > 3к, к ≥ 4

Третий шаг:

Будет показано, что n = (k + 1) также верно, т.е.

(к + 1 + 1)! > 3k + 1

(к + 1 + 1)! = (к + 2)!

(к + 1 + 1)! = (К + 2) (К + 1)!

(к + 1 + 1)! > (k + 2) (3k) (потому что (k + 1)!> 3k)

(к + 1 + 1)! > 3 (3k) (поскольку k + 2> 3)

(к + 1 + 1)! = 3k + 1

Итак, n = (k + 1) также верно