Математическая индукция - это дедуктивный метод, используемый для доказательства истинных или ложных утверждений.

Вы, должно быть, изучали вводную математику в старшей школе. Как мы знаем, математическая индукция - это расширение математической логики.

В своем приложении математическая логика используется для изучения утверждений, которые являются ложными или истинными, эквивалентными или отрицательными, и делать выводы.

Базовые концепции

Математическая индукция - это дедуктивный метод, который используется для доказательства истинных или ложных утверждений.

В процессе делаются выводы, основанные на достоверности общепринятых утверждений, так что конкретные утверждения также могут быть правдой. Кроме того, переменная в математической индукции также считается членом натурального набора чисел.

По сути, есть три шага в математической индукции, чтобы доказать, может ли формула или утверждение быть истинными или наоборот.

Вот эти шаги:

Докажите, что утверждение или формула верны для n = 1.
Предположим, что утверждение или формула верны для n = k.
Докажите, что утверждение или формула верны для n = k + 1.

Исходя из описанных выше шагов, мы можем предположить, что утверждение должно быть проверяемым для n = k и n = k + 1.

Типы математической индукции

Существуют различные виды математических задач, которые можно решить с помощью математической индукции. Таким образом, математическую индукцию можно разделить на три типа: ряд, деление и неравенство.

1. Серия

В этом типе рядов обычно задача математической индукции находится в форме последовательного сложения.

Таким образом, в задаче серии истина должна быть доказана в первом члене, k-члене и th-члене (k + 1).

2. Отдел

Типы индукции по математике с делением можно найти в различных задачах, в которых используются следующие предложения:

a делится на b
b фактор a
b делит a
кратное b

Эти четыре особенности указывают на то, что утверждение может быть решено с помощью математической индукции с делением.

Следует помнить, что если число a делится на b, тогда a = bm, где m - целое число.

3. Неравенство

Тип неравенства обозначается знаком больше или меньше указанного в утверждении.

Есть свойства, которые часто используются при решении неравенств математического индукционного типа. Вот эти характеристики:

a> b> c ⇒ a> c или a <b <c ⇒ a <c
a 0 ⇒ ac <bc или a> b и c> 0 ⇒ ac> bc
a <b ⇒ a + c <b + c или a> b ⇒ a + c> b + c

Original text

Contribute a better translation

Также прочтите: Разница между квадратом и прямоугольником [ПОЛНОЕ ОПИСАНИЕ]
Примеры математических задач индукции
Ниже приведен пример задачи, чтобы вы могли лучше понять, как решить доказательство формулы с помощью математической индукции.
Строка
Пример 1
Докажите, что 2 + 4 + 6 +… + 2n = n (n + 1) для любых n натуральных чисел.
Ответ:
P (n): 2 + 4 + 6 +… + 2n = n (n + 1)
Будет доказано, что n = (n) верно для любого n ∈ N
Первый шаг :
Будет показано, что n = (1) верно.
2 = 1 (1 + 1)
Итак, P (1) верен
Второй шаг :
Предположим, что n = (k) истинно, т.е.
2 + 4 + 6 +… + 2k = k (k + 1), k ∈ N
Третий шаг
Будет показано, что n = (k + 1) также верно, т.е.
2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 1 + 1)
Из предположений:
2 + 4 + 6 +… + 2k = k (k + 1)
Складываем обе стороны с u _{k + 1} :
2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = k (k + 1) + 2 (k + 1)
2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 2)
2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 1 + 1)
Итак, n = (k + 1) правильно
Пример 2
Используйте математическую индукцию для доказательства уравнений
Sn = 1 + 3 + 5 +7 +… + (2n-1) = n2 для всех целых чисел n ≥ 1.
Ответ:
Первый шаг :
Будет показано, что n = (1) верно.
S1 = 1 = 12
Второй шаг
Предположим, что n = (k) верно, т. Е.
1 + 3 + 5 +7 + ... + 2 (к) -1 = k2
1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) = k 2
Третий шаг
Докажите, что n = (k + 1) верно
1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) + [2 (k + 1) - 1] = (k + 1) 2
помните, что 1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) = k2
тогда
k2 + [2 (k + 1) - 1] = (k + 1) 2
к2 + 2к + 1 = (к + 1) 2
(к + 1) 2 = (к + 1) 2
то приведенное выше уравнение доказано
Пример 3
Докажите, что 1 + 3 + 5 +… + (2n - 1) = n2 верно для любых n натуральных чисел.
Ответ:
Первый шаг :
Будет показано, что n = (1) верно.
1 = 12
Итак, P (1) верен
Второй шаг :
Предположим, что n = (k) верно, то есть
1 + 3 + 5 +… + (2k - 1) = k2, k ∈ N.
Третий шаг:
Будет показано, что n = (k + 1) также верно, т.е.
1 + 3 + 5 +… + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = (k + 1) 2
Из предположений:
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = k2
Складываем обе стороны с u _{k + 1} :
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = k2 + (2 (k + 1) - 1)
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = k2 + 2k +1
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = (k + 1) 2
Итак, n = (k + 1) также верно
Деление
Пример 4
Докажите, что n3 + 2n делится на 3 для любых n натуральных чисел
Ответ:
Первый шаг :
Будет показано, что n = (1) верно.
13 + 2,1 = 3 = 3,1
Итак, n = (1) правильно
Также читайте: Понимание и характеристики коммунистической идеологии + примеры
Второй шаг :
Предположим, что n = (k) верно, то есть
k3 + 2k = 3m, k ∈ NN
Третий шаг:
Будет показано, что n = (k + 1) также верно, т.е.
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3p, p ∈ ZZ
(к + 1) 3 + 2 (к + 1) = (к3 + 3к2 + 3к + 1) + (2к + 2)
(к + 1) 3 + 2 (к + 1) = (к3 + 2к) + (3к2 + 3к + 3)
(к + 1) 3 + 2 (к + 1) = 3m + 3 (к2 + к + 1)
(к + 1) 3 + 2 (к + 1) = 3 (м + к2 + к + 1)
Поскольку m - целое число, а k - натуральное число, (m + k2 + k + 1) является целым числом.
Предположим, что p = (m + k2 + k + 1), тогда
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3p, где p ∈ ZZ
Итак, n = (k + 1) правильно
Неравенство
Пример 5
Докажите, что для любого натурального числа n ≥ 2 верно
3n> 1 + 2n
Ответ:
Первый шаг :
Будет показано, что n = (2) верно.
32 = 9> 1 + 2,2 = 5
Итак, P (1) верен
Второй шаг :
Предположим, что n = (k) верно, то есть
3к> 1 + 2к, к ≥ 2
Третий шаг:
Будет показано, что n = (k + 1) также верно, т.е.
3к + 1> 1 + 2 (к + 1)
3k + 1 = 3 (3k)
3k + 1> 3 (1 + 2k) (потому что 3k> 1 + 2k)
3k + 1 = 3 + 6k
3k + 1> 3 + 2k (потому что 6k> 2k)
3к + 1 = 1 + 2к + 2
3к + 1 = 1 + 2 (к + 1)
Итак, n = (k + 1) также верно
Пример 6
Докажите, что для любого натурального числа n ≥ 4 верно
(п + 1)! > 3n
Ответ:
Первый шаг :
Будет показано, что n = (4) верно.
(4 + 1)! > 34
левая грань: 5! = 5.4.3.2.1 = 120
правая сторона: 34 = 81
Итак, n = (4) правильно
Второй шаг :
Предположим, что n = (k) верно, то есть
(к + 1)! > 3к, к ≥ 4
Третий шаг:
Будет показано, что n = (k + 1) также верно, т.е.
(к + 1 + 1)! > 3k + 1
(к + 1 + 1)! = (к + 2)!
(к + 1 + 1)! = (К + 2) (К + 1)!
(к + 1 + 1)! > (k + 2) (3k) (потому что (k + 1)!> 3k)
(к + 1 + 1)! > 3 (3k) (поскольку k + 2> 3)
(к + 1 + 1)! = 3k + 1
Итак, n = (k + 1) также верно