Уравнения окружности - формулы, общие формы и примеры задач

круговое уравнение

Уравнение окружности имеет общий вид x ^ 2 + y ^ 2 + Ax + By + C = 0, который можно использовать для определения радиуса и центра окружности.

Уравнение круга, которое вы узнаете ниже, имеет несколько форм. В разных случаях уравнение может быть разным. Поэтому хорошо его поймите, чтобы запомнить наизусть.

Круг - это набор точек, равноудаленных от точки. Координаты этих точек определяются путем составления уравнений. Это определяется на основе длины радиуса и координат центра круга.

Круговые уравнения

Существуют различные виды уравнений, а именно уравнения, составленные из центральной точки и радиуса, и уравнения, которые можно найти для центральной точки и радиуса.

Общее уравнение круга

Вот общее уравнение, как показано ниже:

круговое уравнение

Исходя из приведенного выше уравнения, можно определить центральную точку и радиус:

круговое уравнение

Центр круга:

В центре P (a, b) и радиуса r

Из круга, если вы знаете центральную точку и радиус, вы получите формулу:

круговое уравнение

Если вы знаете центральную точку круга и радиус круга, где (a, b) - центр, а r - радиус круга.

Из полученного выше уравнения мы можем определить, лежат ли включая точки на окружности, внутри или снаружи. Чтобы определить местоположение точки, используя подстановку точки в переменных x и y, а затем сравнивая результаты с квадратом радиуса круга.

круговое уравнение

Точка M (x 1 , y 1 ) лежит:

круговое уравнение

По кругу:

Внутри круга:

Вне круга:

At с центром O (0,0) и радиусом r

Если центральная точка находится в точке O (0,0), то сделайте замену в предыдущей части, а именно:

круговое уравнение

Из приведенного выше уравнения можно определить положение точки на окружности.

круговое уравнение

Точка M (x 1 , y 1 ) лежит:

По кругу:

Внутри круга:

Вне круга: Также прочтите: Art Is: Определение, Функция, Типы и Примеры [FULL]

Общий вид уравнения можно выразить в следующих формах.

(x - a) 2 + (y - b) 2 = r2, или

X2 + y2 - 2ax - 2by + a2 + b2 - r2 = 0, или

X2 + y2 + Px + Qy + S = 0, где P = -2a, Q = -2b и S = ​​a2 + b2 - r2

Пересечение линий и окружностей

По кругу с уравнением x2 + y2 + Ax + By + C = 0 можно определить, не касается ли линия h с уравнением y = mx + n, не задевает или не пересекает ее, используя принцип дискриминанта.

……. (уравнение 1)

…… .. (уравнение 2)

Подставив уравнение 2 в уравнение 1, вы получите квадратное уравнение, а именно:

круговое уравнение

Из квадратного уравнения выше, сравнивая значения дискриминантов, можно увидеть, не задевает ли линия / не пересекает, не задевает или не пересекает круг.

Прямая h не пересекает / не задевает круг, поэтому D <0

Прямая h касается окружности, поэтому D = 0

Линия h пересекает круг, поэтому D> 0

круговое уравнение

Уравнения касательных к окружностям

1. Уравнение касательных через точку на окружности.

Касательные к окружности точно соответствуют точке, расположенной на окружности. Из точки пересечения касательной и окружности можно определить уравнение прямой касательной.

Уравнение касательной к окружности, проходящей через точку P (x 1 , y 1 ), может быть определено, а именно:

  • Форма

Уравнение касательной

    • Форма

    Уравнение касательной

    круговое уравнение
    • Форма

    Уравнение касательной

    Пример проблемы:

    Уравнение касательной через точку (-1,1) на окружности

    находятся:

    Ответ:

    Знать уравнение круга

    где A = -4, B = 6 и C = -12 и x 1 = -1, y 1 = 1

    PGS - это

    круговое уравнение

    Итак, уравнение касательной

    2. Касательные уравнения к градиенту

    Если прямая с наклоном m касается окружности,

    круговое уравнение

    тогда уравнение касательной:

    Если это круг,

    круговое уравнение

    тогда уравнение касательной:

    круговое уравнение

    Если это круг,

    тогда уравнение касательной, заменив r на,

    круговое уравнение

    так что:

    круговое уравнение

    или

    3. Уравнения касательных к точкам вне окружности.

    Из точки вне круга можно провести две касательные к окружности.

    Читайте также: Демократия: определение, история и типы [FULL]

    Для нахождения касательного уравнения используется формула уравнения регулярной прямой, а именно:

    круговое уравнение

    Однако из этой формулы значение крутизны прямой неизвестно. Чтобы найти наклон прямой, подставьте уравнение для уравнения круга. Так как прямая является касательной, то из уравнения результат подстановки для значения D = 0, и значение m будет получено

    Пример проблем

    Пример проблемы 1

    Круг имеет центр (2, 3) и имеет диаметр 8 см. Уравнение круга ...

    Обсуждение:

    Поскольку d = 8 означает r = 8/2 = 4, поэтому уравнение для образующейся окружности имеет вид

    (x - 2) ² + (y - 3) ² = 42

    x² - 4x + 4 + y² -6y + 9 = 16

    x² + y² - 4x - 6y - 3 = 0

    Пример проблемы 2

    Найдите общее уравнение для круга с центром в точке (5,1), нарушающего прямую 3 x - 4 y + 4 = 0!

    Обсуждение:

    Если известно, что центр окружности ( a , b ) = (5,1), а касательная к окружности равна 3 x - 4 y + 4 = 0, то радиус окружности определяется следующим образом.

    Таким образом, общее уравнение для круга выглядит следующим образом.

    Таким образом, общее уравнение для круга с центром в точке (5,1), нарушающего прямую 3 x - 4 y + 4 = 0, имеет вид

    Пример проблемы 3

    Найдите общее уравнение для круга с центром в точке (-3,4), нарушающего ось Y!

    Обсуждение:

    Прежде всего, давайте сначала нарисуем график круга, который с центром в (-3,4) и оскорбляет ось Y!

    Основываясь на изображении выше, можно увидеть, что центр круга находится в координате (-3,4) с радиусом 3, так что:

    Таким образом, общее уравнение с центром в точке (-3,4) и нарушением оси Y имеет вид

    В некоторых случаях радиус окружности неизвестен, но известна касательная. Итак, как определить радиус круга? Посмотрите на следующую картинку.

    круговое уравнение

    Изображение выше показывает, что касательная к уравнению px + qy + r = 0 относится к окружности с центром в точке C ( a, b ). Радиус можно определить по следующему уравнению. а, б ). Радиус можно определить по следующему уравнению.

    Может быть полезно.